中國學生的數學水平在世界都是有名的

留學的寶寶紛紛發揮中華民族的“數學基因”

將選科必選數學發揚光大

于是

好奇的同學就問了

都說A-Level的數學比高考數學簡單

是這樣嗎？

A-Level的數學包括基礎數學和進階數學

在內容上基礎數學和進階數學有連續性

但這是A-Level的兩門獨立課程

學生可以單獨選擇其中一門

但中國學生一般會都選

數學的教學內容有四大模塊

純數學（pure mathematics）

統計數學（statistics）

機械數學（mechanics）

決策數學（decision mathematics）

下面我們一起跟著錦秋數學組老師

回顧下愛德思考試局2021年1月考試季

A-Level數學考情解析！

錦秋帶你梳理考點啦！！

A-Level數學M1 2021年1月考情分析

考試日期：2021年1月19日

考試時長：1小時30分

01、考查勻加速直線運動

(a)題目中提供了初速度u的信息，另外重力加速度g取9.8。拋射點距離地面5米而目標點是距離地面2m的位置，所以位移是向下的3m。代入公式2as=v2-u2即可求得末速度的大小。當我們規定正方向為向上的時候，初速度為正數，加速度和位移都為負數。

(b)當落地的時候位移為向下的5m。使用公式圖片，規定正方向向上，其中初速度為20m/s，加速度為-9.8m/s2，而位移為-5m，求解時間t即可，t有兩個解，我們保留正數解舍棄負數解。

02、考查動量守恒

碰撞中受到的沖量方向應該跟受力方向一致，規定沿著P初始速度的方向為正，則有

(a)P受到的沖量與自己的速度方向相反，為負數，根據沖量的定義，-5mu=Pf - (6mu)，可以解得P的末動量為mu，由于P的質量為2m，所以P的末速度為0.5u，方向與初始方向相同。

(b)Q受到的沖量與自己的速度方向相反，由于Q的速度方向與我們規定的正方向相反，所以沖量為正數，5mu=Pf - (-2mu)，解得末動量為3mu，所以末速度為3u方向與Q的初始方向相反。

03、考查力的平衡

對于平衡問題來講，質點在各個方向所受到的合外力為0。由于題目要求的是拉力T的最小值，當拉力T較小的時候，物體因200N的力有向左運動的趨勢，所以摩擦力f的方向向右。根據水平方向的受力平衡可得200 cos15=f +T cos25，垂直方向為200 sin15+Tsin25+R=mg。最后，由于是極限的平衡狀態f =μR，求解方程組即可得到答案。

04、考查力矩平衡

題目描述了兩種情況，在種情況中，桿有關于D點翻轉的趨勢，此時支撐點C的力為0，根據力矩平衡，關于D點求力矩，可以列出等式W(6-x-1)=900(6-1)。在第二種情況中，桿有關于C點翻轉的趨勢，此時支撐點D的力為0，根據力矩平衡，關于C點求力矩，可以列出新的平衡要求W(x-1)=1500 x 5。聯立方程組求解可得到W和x的值。

05、考查向量的合成

方向角為正北方出發順時針掃過的角度，建立坐標系，規定i軸正方向朝東，j軸正方向往北，則可以將題目中描述的向量F和G進行分解，可得F=8cos240i + 8sin240j，而G=-10j。那么求和之后R=8cos240i +(8sin240-10)j。

(a)R的大小可以通過圖片進行計算。

(b)通過畫圖可知R的方向指向左下，其跟j軸負方向的夾角可以通過圖片獲得，最后再加上180度即可得到方向角的解。

06、考查平面運動

(a)根據勻速運動在平面內的表達式可以求解：rA=rA0 +vAt =(11+3t)i +(11-t)j。

(b)在時刻t=6，rA=29i+5j，對于B來講，其位移可以表達為RB=(7+4t)i+(16-2t)j，當兩者i坐標相等時，可以解得t=5.5，當兩者j坐標相等時，可以解的t=5.5。

(c)圖片，代入前面計算的結果即可得證。

(d)兩者的距離的平方可以表達為圖片。求解該二次函數的極小值再開根號即可得到最近的距離的值。

07、考查運動學圖像

(a)根據勻加速直線運動的公式v=u+at，代入數值求解即可。

(b)

(c)對于減速的部分使用勻加速直線運動的公式圖片，規定向下為正，其中初速度u為段運動到達的末速度，加速度為-3.9ms-2，位移為73.75m。

(d)求解整個圖形的面積之和即可。

08、考查鏈接體

(a)假設繩子上的拉力為T，加速度為a，則對于A可以分析得到T-mAg sinα-f=mAa，其中摩擦力f=μR，而支持力可以通過mAg cosα=R得到。對于B分析可以得到mBg-T=mBa。聯立方程組求解即可。

(b)當A和B走過了共同的h距離之后，B因為撞擊而立刻停止，拉力消失，A則會因為摩擦力和重力的分量而減速，減速度可以通過mAg sinα+f=mAa來計算。利用公式2as=v2-u2計算上一個運動產生的末速度之后，可以計算得到減速部分走過的位移，再加上h即可得到d的最小值。

(c)滑輪上可能有摩擦力。

A-Level數學M2 2021年1月考情分析

考試日期：2021年1月12日

考試時長：1小時30分

01、第五章：沖量和向量的計算問題，主要考查學生對沖量的向量性質的理解和向量的計算。類似問題并不少見，多加注意就并不困難。

02、第三章：質心與懸掛的問題。本題質心的求解十分簡單，lamina是一等腰三角形，只需運用三角形求質心公式即可得到答案。

懸掛相對較少見。該lamina是在一水平外力的作用下保持平衡的，于是一般的質心處在懸掛點正下方的方式無法使用，必須使用力矩平衡進行計算。找lamina重力的力臂時需要用到相似三角形。

03、第四章：功率問題，P=Fv。

本題有兩個未知數和兩個車輛運動狀態的條件，需要分別列出車輛的受力情況然后聯立方程求出結果。

本題不是特別簡單，但很常見。

04、第三章：質心與懸掛。這是本次試題中的第二道質心與懸掛問題。

需注意題目中是一個framework，好在其形狀并不容易被誤認為是lamina，所以因審題不清導致誤判而出錯應該不大可能。Framework的質心計算應運用每段的長度。

懸掛部分是一個非常基礎和常見的問法，難度不高。

05、第二章：變加速運動，向量的積分與微分。

題中給出一速度向量，需要我們

a) 求出運動方向與某一向量平行的時刻。本問需要了解向量平行的計算；

b) 求加速度的大小，需要首先微分速度向量得到加速度向量，再代數并求大小；

c) 求位置向量，需要首先積分速度向量得到位置向量，再進行代數。

本題比較常規，沒有易錯點，只需仔細讀題并按部就班完成。

06、第六章：剛體的平衡。

有一斜搭在墻上的梯子有兩種狀態：當一人站在C點時，梯子平衡；當其移動到D點時，梯子依然平衡，但達到了極限平衡狀態。本題ab兩問即是分別提問這兩種情況。需要注意的是，種狀態并沒有達到極限平衡，所以不能使用f=μR。

本題計算稍有難度，但并沒有超出從前曾有過的水平。

但另有一c問，提問梯子是rod這一modelling assumption。這類文字題在M1中常考，雖然在M2中也同樣運用了相同的modelling assumption，但從沒有出現過，所以也許一些同學已經遺忘了。

07、章：斜拋；第四章：能量。

本題是一斜拋問題，可用水平豎直方向分開進行運動計算的方式解答。但其中問明確要求必須使用能量的方法，那么就需要使用機械能守恒來計算小球拋起和落地時的狀態。

后兩問分別提問了滯空過程中的最小速率和速率大于10m/s的滯空時間，都是常見的拋物運動問題。

08、第五章：碰撞與回復系數。

a) 計算回復系數e。兩個初速度都未知，通過給出沖量的大小而使其可以計算。這里要注意判斷清楚沖量的方向和正方向，以確保初速度的計算正確。

b) 一球在碰撞后撞墻，又反彈回來和另一球第二次碰撞，求第二次碰撞的位置。本問計算原理簡單，只需一個s=vt的公式，但步驟對于一些同學可能有些復雜，容易出錯。相對來說是一個難度較高的小問，但前幾年曾有過幾乎一樣的問題，并不新奇。

A-Level數學M3 2021年1月考情分析

考試日期：2021年1月14日

考試時長：1小時30分

01

(a)  考點是利用積分求旋轉體的體積，直接套P4部分現成的公式圖片；

(b)  考點是利用積分求旋轉體的質心，直接套現成的公式。

02

(a)  考點是萬有引力的反平方規律F=k/x2，利用地球表面(x=R時)的萬有引力為mg來求k。

(b)  考點是利用F=ma來列方程，然后積分求速度。解這類題目時，正負號容易出錯，如果以遠離地球球心為正方，則F應該是負的，因為是指向圓心的，很多學生容易忽略這一點。解這類題目，可以用a=vdv/dx分離變量求解，也可以用圖片直接積分求解。

03

(a)  考點是圓周運動中的F=ma。水平方向列F=ma的方程，豎直方向列平衡方程。這類題目，兩個方程所分析的方向必須是垂直的，否則兩個方程不獨立。

(b) 

04

(a) 考點是復合的質心的求法。首先需要注意的是，這里的研究對象是solid，而非shell。其次，本題可以認作是從一個大的solid cone里扣除掉了兩個小的solid cone，化簡為了典型的求復合質心的題目。

(b) 考點是求懸掛物體時形成的夾角。解此類問題，先連接懸掛點和質心，來確定downward vertical line，然后再根據質心的坐標來求角度。因為A點，B點和質心三個點的坐標都是已知的，所以，可以借助P4中向量的知識來求夾角,即，套用圖片

05

(a)  考點是胡克定律(Hooke’s law)，列一個力的平衡方程，再列一個total extension=4a的方程，聯立求解即可。

(b)  考點是證明S.H.M。此類題目是必考題，套路非常固定。先令particle處于某個距離平衡點距離為x的位置，再列F=ma的方程，最后湊成圖片的形式即可。很多學生容易忽略步，導致最終結果里沒有x的出現。

 (c)  考點是v2=ω2(a2-x2)。這里一個容易犯的錯誤是，很多學生會直接把7a/2認為是x，實際上是不對的。x應該是距離平衡點的位移，所以在這里應該是0.5a。

06

(a)  考點是能量守恒和圓周運動。首先，列從A點到頂點的能量守恒的方程，求出在定點處的速度；再根據求出的速度，列F=ma的方程，求頂點處繩子的拉力T。要證明“complete vertical circles”，只需要求出T大于0即可。

(b)  考點同(a)，這里要注意的是，當particle處于點時，繩子的拉力是的。所以，只需要求出particle處于點時繩子的拉力，并且小于7mg即可。

07

(a) 考點是能量守恒。利用Energy lost-μRx=Energy gained列方程即可。

(b) 考點是胡克定律和摩擦力。當particle處于A點時，會受到沿斜面向下的Tension和component of weight，以及組織particle滑動的μR.。如果前兩者的和大于第三者，則，會滑動。

總評

難度不大，所有題目都比較常規和典型，比前兩次官考的題目要簡單一些。

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